Các công thức hạ bậc lượng giác giúp bạn biến bài toán lượng giác phức tạp thành đơn giản. Vì vậy, bạn sẽ tiết kiệm thời gian và rèn tư duy logic. Hơn nữa, chúng mở ra vẻ đẹp của toán học qua những ứng dụng thú vị. Bạn đã sẵn sàng chinh phục 10 nhóm công thức hạ bậc lượng giác này chưa?
1. Công thức hạ bậc 2
Các công thức biểu diễn \(\sin^2(x)\), \(\cos^2(x)\) và \(\tan^2(x)\) theo hàm số cos của góc gấp đôi.
2. Công thức hạ bậc 3
Các công thức lượng giác biểu diễn \(\sin^3(x)\), \(\cos^3(x)\) và \(\tan^3(x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\) với bội số của góc \(3x\).
3. Công thức hạ bậc 4
Công thức biểu diễn \(\sin^4(x)\), \(\cos^4(x)\) và \(\tan^4(x)\) theo các giá trị của \(\cos(2x)\) và \(\cos(4x)\).
4. Công thức hạ bậc 5
Công thức lượng giác biểu diễn \(\sin^5(x)\), \(\cos^5(x)\) và \(\tan^5(x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\) với bội số của góc \(3x\) và \(5x\).
5. Công thức tổng quát cho \(\sin^n(x)\) và \(\cos^n(x)\) với \(n\) chẵn
6. Công thức tổng quát cho \(\sin^n(x)\) và \(\cos^n(x)\) với \(n\) lẻ
7. Công thức hạ bậc cho 2x, 3x, 4x, 5x:
Đây là các công thức nhân đôi trong lượng giác, giúp biểu diễn \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\) và \(\tan(2x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\).
8. Công thức cho sin(3x), cos(3x), tan(3x)
Đây là các công thức lượng giác bội số giúp biểu diễn \(\sin(3x)\), \(\cos(3x)\) và \(\tan(3x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\).
9. Công thức cho sin(4x), cos(4x), tan(4x)
Đây là các công thức lượng giác giúp biểu diễn \(\sin(4x)\), \(\cos(4x)\) và \(\tan(4x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\).
10. Công thức cho sin(5x), cos(5x), tan(5x)
Đây là các công thức lượng giác giúp biểu diễn \(\sin(5x)\), \(\cos(5x)\) và \(\tan(5x)\) theo các giá trị của \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) và \(\tan(x)\).
11. Bài tập
Bài tập 1. Biến đổi $2\sin^2x + 3\cos^2x$.
Lời giải
Thay $\sin^2x$ và $\cos^2x$ bằng công thức hạ bậc:
- $\sin^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$,
- $\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
Thay vào biểu thức: $2\sin^2x + 3\cos^2x = 2 \cdot \frac{1 – \cos 2x}{2} + 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$= \frac{2(1 – \cos 2x)}{2} + \frac{3(1 + \cos 2x)}{2} = 1 – \cos 2x + \frac{3 + 3\cos 2x}{2}$.
$= 1 – \cos 2x + \frac{3}{2} + \frac{3\cos 2x}{2}$.
$= 1 + \frac{3}{2} – \cos 2x + \frac{3\cos 2x}{2} = \frac{5}{2} + \frac{-2\cos 2x + 3\cos 2x}{2} = \frac{5}{2} + \frac{\cos 2x}{2}$.
Vậy: $2\sin^2x + 3\cos^2x = \frac{5}{2} + \frac{\cos 2x}{2}$.
Bài tập 2. Biến đổi $\sin^2x \cos^2x$.
Lời giải
Thay $\sin^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$ và $\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:
$\sin^2x \cos^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{(1 – \cos 2x)(1 + \cos 2x)}{4}$.
$(1 – \cos 2x)(1 + \cos 2x) = 1 – \cos^2 2x$.
Thay $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$:
$\sin^2x \cos^2x = \frac{1 – \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{2 – 1 – \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 – \cos 4x}{8}$.
Vậy: $\sin^2x \cos^2x = \frac{1 – \cos 4x}{8}$.
Bài tập 3. Biến đổi $1 – 2\sin^2x$.
Lời giải
Thay $\sin^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$:
$1 – 2\sin^2x = 1 – 2 \cdot \frac{1 – \cos 2x}{2} = 1 – (1 – \cos 2x) = 1 – 1 + \cos 2x = \cos 2x$.
Vậy: $1 – 2\sin^2x = \cos 2x$.
Bài tập 4. Biến đổi $2\cos^2x – 1$.
Lời giải
Thay $\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:
$2\cos^2x – 1 = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} – 1 = 1 + \cos 2x – 1 = \cos 2x$.
Vậy: $2\cos^2x – 1 = \cos 2x$.
Bài tập 5. Biến đổi $\tan^2x$.
Lời giải
Áp dụng công thức: $\tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\frac{1 – \cos 2x}{2}}{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \frac{1 – \cos 2x}{1 + \cos 2x}$.
Vậy: $\tan^2x = \frac{1 – \cos 2x}{1 + \cos 2x}$.
Bài tập 6. Biến đổi $\sin^6x$.
Lời giải
$\sin^6x = (\sin^2x)^3$.
Thay $\sin^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$:
$\sin^6x = \left(\frac{1 – \cos 2x}{2}\right)^3 = \frac{(1 – \cos 2x)^3}{8}$.
Mở rộng:
$(1 – \cos 2x)^3 = 1 – 3\cos 2x + 3\cos^2 2x – \cos^3 2x$.
Thay $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$, để đơn giản ta dừng ở bước cơ bản:
$\sin^6x = \frac{1 – 3\cos 2x + 3\frac{1 + \cos 4x}{2} – \cos^3 2x}{8}$.
(Để chi tiết hơn cần mở rộng $\cos^3 2x$, nhưng đây là dạng cơ bản.)
Vậy: $\sin^6x = \frac{1 – 3\cos 2x + 3\frac{1 + \cos 4x}{2} – \cos^3 2x}{8}$.
Bài tập 7. Rút gọn và biến đổi $\sin^4x + \cos^4x + 2\sin^2x \cos^2x$.
Lời giải
Sử dụng công thức hạ bậc
$\sin^4x$, $\cos^4x$, và $\sin^2x \cos^2x$ bằng các công thức hạ bậc:
$\sin^4x = \left(\frac{1 – \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{(1 – \cos 2x)^2}{4} = \frac{1 – 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$, với $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$,
$\sin^4x = \frac{1 – 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 – 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{2 – 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$.
$\cos^4x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4} = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$, với $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$,
$\cos^4x = \frac{1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{2 + 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$.
$\sin^2x \cos^2x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{(1 – \cos 2x)(1 + \cos 2x)}{4} = \frac{1 – \cos^2 2x}{4}$, với $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$,
$\sin^2x \cos^2x = \frac{1 – \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{2 – 1 – \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 – \cos 4x}{8}$.
Khi đó: $\sin^4x + \cos^4x + 2\sin^2x \cos^2x = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8} + \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} + 2 \cdot \frac{1 – \cos 4x}{8}$.
$= \frac{(3 – 4\cos 2x + \cos 4x) + (3 + 4\cos 2x + \cos 4x) + 2(1 – \cos 4x)}{8}$ = 1
Kết luận: $\sin^4x + \cos^4x + 2\sin^2x \cos^2x = 1$.
Công thức hạ bậc lượng giác giúp đơn giản hóa biểu thức phức tạp, mang đến cách tiếp cận mới mẻ. Nắm vững chúng, bạn sẽ giải toán nhanh hơn và khám phá thêm nhiều điều thú vị. Hy vọng LuongGiac.org đã giúp bạn thành thạo các công thức này!