Rút gọn lượng giác là kỹ năng quan trọng trong chương trình toán lượng giác, nơi học sinh tiếp cận các biểu thức phức tạp cần đơn giản hóa. Bài viết này sẽ khám phá cách áp dụng các công thức quen thuộc như nhân đôi, hạ bậc và cộng trừ góc để biến đổi những biểu thức rườm rà thành dạng tinh gọn. Qua đó, chúng ta hiểu sâu hơn về lượng giác.
Các bài tập thường gặp
Bài tập 1. Rút gọn \(1 – 2\sin^2x\)
Lời giải
$1 – 2{\sin ^2}x$ $ = 1 – 2 \cdot \frac{{1 – \cos 2x}}{2}$ $ = 1 – (1 – \cos 2x)$ $ = 1 – 1 + \cos 2x$ $ = \cos 2x$
Bài tập 2. Cho \( \cot \left( \frac{2017\pi}{2} + x \right) = \frac{1}{2} \). Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{2\sin^2{x} + 3\sin{x} \cos{x} – \cos^2{x}}{\cos^2{x} – 3\sin^2{x}}.$
Lời giải
Ta có
$ \cot \left( \frac{2017\pi}{2} + x \right) = \cot \left( 1008\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = \cot \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\tan{x}. $ $ \Rightarrow \tan{x} = -\frac{1}{2}. $ $ \Rightarrow P = \frac{2\tan^2{x} + 3\tan{x} – 1}{1 – 3\tan^2{x}} = -8. $
Bài tập 3. Rút gọn \(\sin^2x – \sin^2y\)
Lời giải
${\sin ^2}x – {\sin ^2}y$ $ = \left( {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}} \right) – \left( {\frac{{1 – \cos 2y}}{2}} \right)$ $ = \frac{{1 – \cos 2x – 1 + \cos 2y}}{2}$ $ = \frac{{\cos 2y – \cos 2x}}{2}$ $ = \sin (x + y)\sin (x – y)$
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức \( N = \sqrt{\sin^2{x} (4 + \cot{x}) + \cos^2{x} (1 + 3\tan{x})} \).
Lời giải
$ N = \sqrt{4\sin^2{x} + \sin^2{x} \cot{x} + \cos^2{x} + 3\cos^2{x} \tan{x}} $
$ = \sqrt{4\sin^2{x} + \sin^2{x} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin{x}} + \cos^2{x} + 3\cos^2{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}}} $
$ = \sqrt{4\sin^2{x} + 4\sin{x} \cos{x} + \cos^2{x}} $
$ = \sqrt{(2\sin{x} + \cos{x})^2} $ $ = |2\sin{x} + \cos{x}|. $
Bài tập 5. Rút gọn \(\frac{1 – \cos 2x}{1 + \cos 2x}\)
Lời giải
$\frac{{1 – \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}$ $ = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = {\tan ^2}x$.
Bài tập 6. Rút gọn \(\cos^4x – \sin^4x\)
Lời giải
${\cos ^4}x – {\sin ^4}x$ $ = ({\cos ^2}x – {\sin ^2}x)({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)$ $ = ({\cos ^2}x – {\sin ^2}x) \cdot 1$ $ = \cos 2x$
Bài tập 7. Cho \( 6\cos^2{\alpha} + \cos{\alpha} – 2 = 0 \). Biết $ A = \frac{2\sin{\alpha} \cos{\alpha} – \sin{\alpha}}{2\cos{\alpha} – 1} = a + b\tan{\alpha} \text{ với } a, b \in \mathbb{Q}. $ Tính giá trị của biểu thức \( a + b \).
Lời giải
Kết luận, dạng bài tập rút gọn biểu thức lượng giác không chỉ là nền tảng quan trọng trong chương trình toán học mà còn đóng vai trò cốt lõi trong việc học tốt lượng giác. Việc nắm vững các công thức như nhân đôi, hạ bậc, cộng trừ góc giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán phức tạp. Đây là kỹ năng không thể thiếu, góp phần xây dựng nền tảng vững chắc cho việc học toán lượng giác nâng cao sau này.