Trong chương trình Toán học, bảng giá trị lượng giác đặc biệt là một trong những nội dung nền tảng mà học sinh cần ghi nhớ để có thể tính toán nhanh các biểu thức lượng giác, giải phương trình hoặc vẽ đồ thị hàm số.
Tuy nhiên, thay vì “học thuộc lòng”, bạn hoàn toàn có thể hiểu bản chất hình học của những giá trị này và suy luận ra dễ dàng. Bài viết dưới đây giúp bạn nắm trọn bảng giá trị lượng giác đặc biệt, cách ghi nhớ, cùng các ứng dụng thực tế — một cách dễ hiểu và chính xác nhất.
1. Góc đặc biệt là gì?
Trong lượng giác, các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° được gọi là góc đặc biệt vì:
- Chúng xuất hiện thường xuyên trong các bài toán hình học, vật lý, cơ học.
- Giá trị lượng giác của chúng có dạng căn thức đơn giản, dễ tính và dễ nhớ.
- Các góc này đều nằm trong góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác, nên các giá trị sin, cos, tan đều dương.
Những góc này tương ứng với các tam giác vuông đặc biệt:
- Tam giác vuông cân (45°–45°–90°)
- Tam giác vuông đều (30°–60°–90°)
Từ đó, ta có thể suy luận hình học để tính các giá trị sin, cos, tan.
2. Suy ra giá trị lượng giác từ tam giác vuông đặc biệt
2.1. Tam giác vuông đều (30°–60°–90°)
Xét tam giác đều cạnh 2, hạ đường cao chia đôi đáy.
Khi đó, đường cao vừa là trung tuyến, vừa là phân giác.
Ta có:
- Cạnh huyền = 2
- Cạnh kề của góc 30° = √3
- Cạnh đối của góc 30° = 1
Suy ra: $ \sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Đối với góc 60° trong cùng tam giác: $ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2} $
2.2. Tam giác vuông cân (45°–45°–90°)
Xét tam giác vuông cân cạnh góc vuông bằng 1. Khi đó, cạnh huyền:
$ h = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Suy ra: $ \sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
2.3. Góc 0° và 90° trên đường tròn lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, điểm tương ứng với:
- Góc 0° là điểm (1, 0)
- Góc 90° là điểm (0, 1)
Do đó:
$ \sin 0° = 0, \quad \cos 0° = 1 $
$ \sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0 $
3. Bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Ghi chú: Tất cả các giá trị trên đều dương vì các góc này nằm trong góc phần tư I.
4. Mẹo ghi nhớ nhanh bảng giá trị lượng giác
Cách “đếm xuôi – đếm ngược”
Một cách ghi nhớ cực nhanh cho sin và cos: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$
Ứng với: $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$
Trong khi đó, giá trị của $\cos \alpha$ là ngược lại.
Ví dụ:
- $\cos 0° = 1 = \frac{\sqrt{4}}{2}$
- $\cos 90° = 0 = \frac{\sqrt{0}}{2}$
Mẹo nhớ tan và cot
Vì: $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} $ → Bạn chỉ cần thuộc sin và cos, thì tan và cot tự động có.
Ví dụ: $ \tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} $
Mẹo nhớ dạng so le
Hãy nhớ rằng: “Giá trị của sin tăng dần, còn cos giảm dần”khi góc tăng từ 0° → 90°.
5. Ứng dụng bảng giá trị lượng giác trong bài tập
Ví dụ: Tính nhanh biểu thức: $ A = 2\sin 30° + 3\cos 60° $
Thay vào bảng: $ A = 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác cơ bản $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Tra bảng → $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
⇒ $x = 60° + k360°$ hoặc $x = 120° + k360°$
Tính giá trị của các góc liên quan (như 120°, 150°)
6. Liên hệ mở rộng và ứng dụng
| Chủ đề | Liên kết nội bộ |
|---|---|
| Khái niệm giá trị lượng giác | Giá trị lượng giác của một góc |
| Cung lượng giác tương ứng | Tính giá trị lượng giác của một cung |
| Dấu trong các phần tư | Dấu của các giá trị lượng giác |
| Bài tập vận dụng | Giải bài tập tính giá trị lượng giác |
| Mở rộng sang công thức | Công thức lượng giác cơ bản |
7. Câu hỏi thường gặp
Bảng giá trị lượng giác đặc biệt thường bao gồm các góc: $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$
(hoặc tương đương $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ theo radian).
Mở rộng:
Các góc này được chọn vì có giá trị sin, cos, tan đẹp và dễ nhớ. Chúng là nền tảng để tính các góc khác trong chương trình Toán 10–12 và ôn thi THPT quốc gia.
Bảng này giúp rút gọn biểu thức, giải phương trình và tính nhanh các biểu thức lượng giác phức tạp.
Ví dụ: $ \sin 30° + \cos 60° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $ hoặc $ \tan 45° \cdot \cot 45° = 1 $
Mở rộng:
Ngoài ra, khi làm bài trắc nghiệm, bạn có thể tiết kiệm tới 50% thời gian chỉ bằng việc thuộc bảng này — do hầu hết bài lượng giác cơ bản đều quy về 5 góc đặc biệt trên.
Công thức chuyển đổi là:
$\text{Góc (radian)} = \text{Góc (độ)} \times \frac{\pi}{180}$
Do đó:
$0° = 0, ; 30° = \frac{\pi}{6}, ; 45° = \frac{\pi}{4}, ; 60° = \frac{\pi}{3}, ; 90° = \frac{\pi}{2}$
Có thể nhớ theo mẹo:
Với $\sin$: $\sin 0° = 0, \sin 30° = \frac{1}{2}, \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 90° = 1$
Với $\cos$: đọc ngược lại dãy giá trị của $\sin$.
Mở rộng:
Hoặc áp dụng công thức: $\sin \alpha = \sqrt{\frac{1 – \cos 2\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}}$
để tự tính khi quên bảng.
7. Kết luận
“Bảng giá trị lượng giác đặc biệt” là công cụ không thể thiếu khi học lượng giác.
Khi bạn hiểu được cách dựng hình và tự suy ra công thức, việc ghi nhớ bảng trở nên dễ dàng hơn nhiều.
Chỉ cần nhớ hai tam giác đặc biệt (30°–60°–90° và 45°–45°–90°), bạn có thể tự viết lại toàn bộ bảng trong vài giây.
Từ đó, việc giải bài tập, phương trình và ứng dụng thực tế trong dao động, sóng, hoặc hình học không gian đều trở nên thuận tiện.