Chứng minh đẳng thức lượng giác – kỹ năng thiết yếu trong toán học! Từ việc biến đổi biểu thức lượng giác đến ứng dụng các công thức cơ bản, bạn sẽ nắm vững cách làm sáng tỏ những bí ẩn của lượng giác. Hãy cùng tìm hiểu các phương pháp chứng minh hiệu quả, từ những bài toán đơn giản đến phức tạp, để tự tin chinh phục mọi thử thách.
Bài tập 1. Chứng minh rằng $ 4 \cos x \cos \left( \frac{\pi}{3} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \cos 3x, \text{ với mọi } x \in \mathbb{R} $
Lời giải
Ta có
$ 4 \cos x \cos \left( \frac{\pi}{3} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 4 \cos x \cdot \frac{1}{2} \left[ \cos (-2x) + \cos \frac{2\pi}{3} \right] $ $ = 2 \cos x \cos 2x – \cos x = \cos 3x + \cos (-x) – \cos x, \forall x \in \mathbb{R}. $
Vậy $4 \cos x \cos \left( \frac{\pi}{3} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \cos 3x, \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}$
Bài tập 2. Chứng minh rằng $\cos^3 a \cos 3a – \sin^3 a \sin 3a = \frac{3}{4} \cos 4a + \frac{1}{4}, \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}$
Lời giải
$\cos^3 a \cos 3a – \sin^3 a \sin 3a = (\cos 3a \cos a) \cos^2 a – (\sin 3a \sin a) \sin^2 a$
$= \frac{1}{2} [\cos 2a + \cos 4a] \cos^2 a – \frac{1}{2} [\cos 2a – \cos 4a] \sin^2 a$
$= \frac{1}{2} \cos 2a \cos^2 a + \frac{1}{2} \cos 4a \cos^2 a – \frac{1}{2} \cos 2a \sin^2 a + \frac{1}{2} \cos 4a \sin^2 a$
$= \frac{1}{2} \cos 2a (\cos^2 a – \sin^2 a) + \frac{1}{2} \cos 4a (\cos^2 a + \sin^2 a)$
$= \frac{1}{2} \cos 2a \cos 2a + \frac{1}{2} \cos 4a$
$= \frac{1}{4} (\cos 4a + \cos 0) + \frac{1}{2} \cos 4a = \frac{3}{4} \cos 4a + \frac{1}{4}, \forall x \in \mathbb{R}.$
Vậy $\cos^3 a \cos 3a – \sin^3 a \sin 3a = \frac{3}{4} \cos 4a + \frac{1}{4}, \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}$
Bài tập 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến số \( x \):
$S = \cos^2 x + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} + x \right) + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} – x \right)$
Lời giải
Ta có
$ S = \cos^2 x + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} + x \right) + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} – x \right) $
$ = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos (4\pi/3 + 2x)}{2} + \frac{1 + \cos (4\pi/3 – 2x)}{2} $
$ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \left[ \cos (4\pi/3 + 2x) + \cos (4\pi/3 – 2x) \right] $
$ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{4\pi}{3} \cos 2x $
$ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cos 2x $ $ = \frac{3}{2} $
Vậy \( S = \frac{3}{2} \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) (không phụ thuộc vào biến số \( x \)).
Bài tập 4. Chứng minh rằng các biểu thức dưới đây không phụ thuộc vào giá trị của biến số \( x \).
a) $A = \sin^2 x + \cos \left( \frac{\pi}{3} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$
b) $B = \frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x$
Lời giải
a) $A = \sin^2 x + \cos \left( \frac{\pi}{3} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1 – \cos 2x}{2} + \frac{1}{2} \left[ \cos 2x + \cos \frac{2\pi}{3} \right]$
$= \frac{1}{2} \left( 1 – \cos 2x + \cos 2x – \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \quad \text{(không phụ thuộc vào \(x\)).}$
b) $B = \frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x$
$= \frac{2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} \cdot \cot x$
$= \frac{2 \sin x (\sin x + \cos x)}{2 \cos x (\cos x + \sin x)} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1 \quad \text{(không phụ thuộc vào \(x\)).}$