Trong chương trình Toán lớp 12, công thức hạ bậc là một trong những nhóm công thức lượng giác cơ bản giúp ta biến đổi các biểu thức bậc cao về bậc thấp hơn, phục vụ cho việc rút gọn và giải phương trình lượng giác. Bài viết này sẽ đi sâu vào công thức hạ bậc bậc 2, tức là cách biến đổi sin²x và cos²x về dạng chỉ chứa sin(2x) hoặc cos(2x).
1. Khái niệm công thức hạ bậc bậc 2 là gì?
Hạ bậc nghĩa là giảm bậc của biểu thức lượng giác (ví dụ từ sin²x về sin(2x)).
Công thức hạ bậc bậc 2 được sử dụng khi ta muốn biến đổi bình phương của sin hoặc cos về dạng tuyến tính, giúp dễ dàng rút gọn, tích phân hoặc giải phương trình.
Ví dụ, thay vì làm việc với $\sin^2 x$ hay $\cos^2 x$, ta sẽ chuyển chúng sang dạng có $\cos 2x$.
Điều này giúp các phép biến đổi lượng giác trở nên gọn gàng và logic hơn.
2. Công thức hạ bậc 2 của sin²x và cos²x
Công thức hạ bậc 2 được rút ra trực tiếp từ công thức nhân đôi — cụ thể là từ biểu thức của $\cos 2x$.
Công thức hạ bậc sin²x
$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$
Công thức hạ bậc cos²x
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
Sự khác biệt nằm ở dấu “+” và “–”:
- Với $\sin^2 x$: có dấu trừ, vì $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$.
- Với $\cos^2 x$: có dấu cộng, vì $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$.
Như vậy, hai công thức trên là hai “phiên bản đối xứng” của nhau, cùng giúp giảm bậc của sin²x và cos²x.
3. Cách chứng minh công thức hạ bậc bậc 2
Ta bắt đầu từ công thức nhân đôi cơ bản:
$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$
Từ đây, suy ra:
$2\sin^2 x = 1 – \cos 2x \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$
Tương tự, ta có công thức nhân đôi dạng khác:
$\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$
Suy ra: $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
➡️ Đây chính là cặp công thức hạ bậc bậc 2 dùng phổ biến nhất trong các bài rút gọn biểu thức lượng giác.
4. Phân biệt công thức hạ bậc 2 và hạ bậc 3
| Tiêu chí | Hạ bậc 2 | Hạ bậc 3 |
|---|---|---|
| Dạng biểu thức | sin²x, cos²x | sin³x, cos³x |
| Dạng kết quả | chứa $\cos 2x$ | chứa $\cos 3x$, $\sin 3x$ |
| Độ phức tạp | Cơ bản – dùng nhiều | Nâng cao – ít gặp hơn |
| Mối liên hệ | Suy từ công thức nhân đôi | Suy từ công thức nhân ba |
➡️ Bạn có thể xem công thức kế tiếp trong bài Công thức hạ bậc 3 để hiểu quy luật tổng quát của các bậc cao hơn.
5. Bài tập
Bài 1. Rút gọn biểu thức
Rút gọn biểu thức: $A = 3\sin^2 x + 2\cos^2 x$
Lời giải
Áp dụng công thức hạ bậc:
$A = 3 \times \frac{1 – \cos 2x}{2} + 2 \times \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$A = \frac{3 – 3\cos 2x + 2 + 2\cos 2x}{2} = \frac{5 – \cos 2x}{2}$
→ Kết quả rút gọn chỉ còn chứa $\cos 2x$.
Bài 2. Cho $\cos 2x = \frac{1}{2}$. Tính $\sin^2 x$.
Lời giải
Áp dụng công thức: $\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2} = \frac{1 – \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$
→ Kết quả: $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.
Bài 3. Giải phương trình: $\sin^2 x = \cos^2 x$
Lời giải
Dùng công thức hạ bậc: $\frac{1 – \cos 2x}{2} = \frac{1 + \cos 2x}{2} \Rightarrow \cos 2x = 0$
Suy ra: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
Bài 4: Giải phương trình: $\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x.\cot \,x + \,{\cos ^3}x.\tan x\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ (2)
Lời giải
Ta có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^2}x.\cos \,x + \,{\cos ^2}x.sinx\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $
${{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\sin }^2}x(\sin x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \cos x){\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} co{{\rm{s}}^2}x(\cos {\mkern 1mu} x + {\mkern 1mu} sinx){\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \sqrt {2\sin 2x} }$
${ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({{\sin }^2}x + {\mkern 1mu} co{{\rm{s}}^2}x)(\sin x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \cos x){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \sqrt {2\sin 2x} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }$
${{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sin x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \cos x{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt {2\sin 2x} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (3)}$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \cos x{\mkern 1mu} \ge 0}\\ {\sin 2x{\mkern 1mu} \ge 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $ $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \cos x{\mkern 1mu} \ge 0}\\ {\sin x.\cos x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ge 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $ $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} \ge 0}\\ {{\mkern 1mu} \cos x \ge 0} \end{array}} \right.$
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: ${(\sin x + \cos x)^2} = 2\sin 2x$
${ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \sin 2x}$
$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $
$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k \in Z$
Các giá trị x = π/4 + kπ thỏa mãn điều kiện () khi và chỉ khi k = 2m
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất.
Bài 6: Giải phương trình: ${\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = \frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ (8)
Lời giải
Ta có: $\frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ $ = \frac{8}{{{{(2\sin 2x\cos 2x)}^3}}}$ $ = \frac{1}{{{{(\sin 2x\cos 2x)}^3}}}$ $ = {(\tan 2x + \cot 2x)^3}$
${ = {{\tan }^3}2x + {{\cot }^3}2x + 3\tan 2x\cot 2x(\tan 2x + \cot 2x)}$
${ = {{\tan }^3}2x + {{\cot }^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}}$
Do vậy (8) ↔$\,{\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}$
$ \leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2x}} = 0$ (vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 6. Tính: $\sin \frac{\pi}{8}, \cos \frac{\pi}{8}.$
Lời giải
$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 – \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4}$ mà $\sin \frac{\pi}{8} > 0$ nên $\sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2};$
$\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$
mà $\cos \frac{\pi}{8} > 0$ nên $\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.$
Bài 7: Giải phương trình: ${\sin ^7}x + {\cos ^5}x + \frac{1}{2}({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin 2x = \sin x + \cos x$ (4)
Lời giải
Ta có $(4) \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + ({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin x\cos x = \sin x + \cos x$
$\, \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + {\sin ^6}x\cos x + \sin x{\cos ^4}x = \sin x + \cos x$
${ \Leftrightarrow ({{\sin }^7}x + {{\sin }^6}x\cos x) + ({{\cos }^5}x + \sin x{{\cos }^4}x) = \sin x + \cos x}$
${ \Leftrightarrow {{\sin }^6}x(\sin x + \cos x) + {{\cos }^4}x(\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x}$
⇔ ${(\sin x + \cos x)({{\sin }^6}x + {{\cos }^4}x – 1) = 0}$
${ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x + \cos x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (5)}\\ {{{\sin }^6}x + {{\cos }^4}x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (6)} \end{array}} \right.}$
Ta có (5)↔tan(x) = – 1 ↔ x = π/4 + kπ với k ∈ Z
Lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\cos }^6}x \le {{\cos }^2}x}\\ {{{\sin }^4}x \le {{\sin }^2}x} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {\cos ^6}x + {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$
Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin(x) = 0 hoặc cos(x) = 0
Bởi thế (6) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
6. Kết luận
Công thức hạ bậc 2 là nền tảng quan trọng trong lượng giác, giúp ta biến đổi các biểu thức sin²x, cos²x về dạng tuyến tính để tính toán, chứng minh và giải phương trình hiệu quả hơn.
Việc nắm vững công thức này không chỉ giúp bạn học tốt phần lượng giác, mà còn tạo nền vững chắc cho giải tích và các bài thi THPT Quốc gia.
💬 Gợi ý: Sau khi học xong công thức hạ bậc 2, bạn nên tiếp tục với Công thức hạ bậc 3 và Công Thức Hạ Bậc 4 hoặc công thức hạ bậc 5 để hoàn thiện chuỗi kiến thức lượng giác của mình.