Công thức hạ bậc 3 lượng giác giúp biến đổi các biểu thức như $\sin^3x$, $\cos^3x$, $\tan^3x$ về dạng bậc nhất, từ đó rút gọn và giải nhanh hơn. Trong bài viết này, bạn sẽ được luyện tập qua các bài tập công thức hạ bậc 3 lượng giác có lời giải chi tiết, giúp hiểu rõ cách áp dụng. Nếu chưa nắm vững phần kiến thức căn bản, hãy xem lại Công thức hạ bậc lượng giác trước khi bắt đầu.
1. Hiểu đúng về công thức hạ bậc ba
“Hạ bậc” nghĩa là giảm bậc của hàm lượng giác, ví dụ từ $\sin^3x$ (bậc ba) xuống dạng chỉ còn $\sin x$ hoặc $\cos 3x$ (bậc một).
Điều này giúp ta dễ dàng hơn trong quá trình giải các bài toán rút gọn, chứng minh hoặc tính tích phân.
So với hạ bậc 2 (chỉ áp dụng cho bình phương sin, cos), nhóm hạ bậc 3 có tính tổng quát hơn, bởi nó liên quan trực tiếp đến công thức nhân ba góc (3x) – là công cụ để quy đổi các biểu thức có lũy thừa ba về dạng góc đơn.
Các công thức này đặc biệt hữu ích khi gặp những bài toán như:
- Giải phương trình chứa $\sin^3x$ hoặc $\cos^3x$.
- Biến đổi tích $\sin^3x + \cos^3x$ hoặc $\sin^3x – \cos^3x$.
- Tính giá trị trung bình hoặc tích phân trong giải tích.
2. Bảng công thức hạ bậc 3 lượng giác
Dưới đây là 3 công thức cơ bản và đầy đủ nhất cho nhóm hạ bậc bậc ba:
- Với sin³x: $\sin^3x = \frac{3\sin x – \sin3x}{4}$
- Với cos³x: $ \cos^3x = \frac{3\cos x + \cos3x}{4} $
- Với tan³x: $ \tan^3x = \frac{3\tan x – \tan3x}{1 – 3\tan^2x} $
📘 Ghi nhớ nhanh: Công thức của sin³x có dấu trừ giữa hai thành phần; còn cos³x có dấu cộng. Điều này giúp bạn dễ thuộc hơn khi luyện tập.
3. Chứng minh
Dựa vào công thức nhân ba của sin
Công thức nhân ba: $ \sin3x = 3\sin x – 4\sin^3x $
Từ đây, ta suy ra: $ 4\sin^3x = 3\sin x – \sin3x $
Vậy: $ \sin^3x = \frac{3\sin x – \sin3x}{4} $
Dựa vào công thức nhân ba của cos
Công thức nhân ba: $ \cos3x = 4\cos^3x – 3\cos x $
Suy ra: $ 4\cos^3x = 3\cos x + \cos3x $
Nên: $ \cos^3x = \frac{3\cos x + \cos3x}{4} $
Với hàm tan
Công thức nhân ba cho tang là: $ \tan3x = \frac{3\tan x – \tan^3x}{1 – 3\tan^2x} $
Biến đổi ngược lại, ta được: $ \tan^3x = \frac{3\tan x – \tan3x}{1 – 3\tan^2x} $
➡️ Như vậy, nhóm công thức hạ bậc 3 được chứng minh hoàn toàn dựa trên công thức nhân ba – vừa ngắn gọn, vừa dễ nhớ, và có thể mở rộng cho các bậc cao hơn như 4 hoặc 5.
4. So sánh giữa công thức hạ bậc 2 và hạ bậc 3
| Đặc điểm | Hạ bậc 2 | Hạ bậc 3 |
|---|---|---|
| Biểu thức gốc | $\sin^2x, \cos^2x$ | $\sin^3x, \cos^3x, \tan^3x$ |
| Dựa vào công thức | Nhân đôi | Nhân ba |
| Kết quả chứa | $\cos2x$ | $\cos3x, \sin3x$ |
| Mức độ phức tạp | Cơ bản | Nâng cao hơn |
| Ứng dụng | Giải phương trình, rút gọn cơ bản | Giải tích, chứng minh, bài toán nâng cao |
📎 Nếu bạn chưa nắm vững nhóm cơ bản, hãy xem lại Công thức hạ bậc 2 lượng giác để hiểu rõ cơ chế biến đổi đầu tiên trước khi học bậc ba.
5. Mẹo ghi nhớ nhanh
- Sin³x → trừ, Cos³x → cộng:$\sin^3x = \frac{3\sin x – \sin3x}{4}, \quad \cos^3x = \frac{3\cos x + \cos3x}{4}$
- Nhớ “chia cho 4” – vì công thức xuất phát từ nhân ba (3x).
- Với tan³x, chỉ cần nhớ công thức mẫu: $ \tan^3x = \frac{3\tan x – \tan3x}{1 – 3\tan^2x} $
6. Bài tập công thức hạ bậc 3
Bài 1. Rút gọn biểu thức: $ P = \sin^3x – \cos^3x $.
Lời giải
$ P = \frac{3\sin x – \sin3x}{4} – \frac{3\cos x + \cos3x}{4} = \frac{3(\sin x – \cos x) – (\sin3x + \cos3x)}{4} $
Sau đó, dùng công thức cộng – trừ góc để tiếp tục biến đổi.
Bài 2. Giải phương trình $\cos^3x = \frac{1}{2}\cos x$
Lời giải
Thay công thức: $ \frac{3\cos x + \cos3x}{4} = \frac{1}{2}\cos x \Rightarrow \cos3x = -\cos x $
Giải ra được: $ 3x = \pi – x + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $
Bài 3. Rút gọn biểu thức $A = \sin^3x + \cos^3x$
Lời giải
Áp dụng công thức: $\sin^3x + \cos^3x = \frac{3(\sin x + \cos x) + (\cos3x – \sin3x)}{4} $
→ Giúp ta dễ dàng tiếp tục biến đổi với các công thức cộng – trừ góc.
Bài 4. Giải phương trình $\sin^3x = \frac{1}{4}$
Lời giải
Ta có:
$\frac{3\sin x – \sin3x}{4} = \frac{1}{4}$ ⟹ $3\sin x – \sin3x = 1$ ⟹ $\sin3x = 3\sin x – 1$
Phương trình này trở về dạng quen thuộc, có thể giải bằng công thức lượng giác cơ bản.
7. FAQs
Mẹo nhớ:
Với sin, dấu trừ ở trước $\sin 3x$.
Với cos, dấu cộng ở trước $\cos 3x$.
Cụ thể: $\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}, \quad \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$
Mở rộng:
Bạn có thể liên tưởng đến công thức nhân ba (ngược dấu): $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x \Rightarrow \text{ngược lại thì đổi dấu giữa hai vế.}$
Đây là mẹo cực kỳ hữu ích khi làm bài trắc nghiệm nhanh.
Công thức hạ bậc bậc 3 dùng để biến đổi các biểu thức như $\sin^3 x$, $\cos^3 x$ về dạng có góc nhân ba $3x$, giúp rút gọn và tính toán nhanh hơn.
Cụ thể: $\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$
$\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$
Mở rộng:
Hai công thức này được suy ra từ công thức nhân ba:
$\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x, \quad \cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$
→ chỉ cần biến đổi ngược là ra công thức hạ bậc bậc 3.
Áp dụng công thức hạ bậc: $\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{3(\sin x + \cos x) + (\cos 3x – \sin 3x)}{4}$
Mở rộng:
Hoặc bạn có thể dùng hằng đẳng thức: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
Khi $a = \sin x, b = \cos x$ →$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 – \sin x \cos x)$
Giúp rút gọn nhanh trong các bài toán tính tổng lượng giác.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức $ A = \sin^3 x – \cos^3 x $
Áp dụng công thức hạ bậc: $ A = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4} – \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} $
$ A = \frac{3(\sin x – \cos x) – (\sin 3x + \cos 3x)}{4} $
Mở rộng:
Ta có thể tiếp tục rút gọn bằng công thức: $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$
→ kết quả cuối cùng được viết gọn hơn nếu cần biểu diễn theo một hàm lượng giác duy nhất.
Công thức này thường dùng khi biểu thức có bậc lẻ (như $\sin^3 x$, $\cos^3 x$) nhưng cần chuyển sang dạng bậc thấp hơn để:
Rút gọn biểu thức phức tạp.
Giải phương trình lượng giác có bậc cao.
Tính tích phân lượng giác trong giải tích.
Mở rộng:
Ví dụ, khi giải phương trình: $ \sin^3 x = \frac{1}{2} $
→ thay $\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$, phương trình trở thành bậc nhất theo $\sin 3x$ → dễ giải hơn rất nhiều.
7. Tổng kết kiến thức
| Hàm | Công thức hạ bậc 3 |
|---|---|
| $\sin^3x$ | $\frac{3\sin x – \sin3x}{4}$ |
| $\cos^3x$ | $\frac{3\cos x + \cos3x}{4}$ |
| $\tan^3x$ | $\frac{3\tan x – \tan3x}{1 – 3\tan^2x}$ |
Tóm lại:
- Nhóm công thức này mở rộng trực tiếp từ nhân ba góc.
- Giúp rút gọn, chứng minh, và tính tích phân nhanh hơn.
- Là cầu nối giữa hạ bậc 2 (cơ bản) và hạ bậc 4 (nâng cao) hay hạ bậc 5.