Trước khi tìm hiểu chi tiết về công thức hạ bậc 4 lượng giác, bạn nên nắm vững các kiến thức cơ bản trong hệ thống công thức hạ bậc.
- Xem Công thức hạ bậc để hiểu khái niệm, cách chứng minh và ứng dụng chung của sin, cos, tan.
- Tìm hiểu Công thức hạ bậc 2 lượng giác và Công thức hạ bậc 3 lượng giác để dễ dàng nhận ra quy luật biến đổi khi nâng lên bậc cao hơn.
Những nền tảng này sẽ giúp bạn tiếp cận phần hạ bậc bậc 4 nhanh và chính xác hơn.
1. Nguyên Tắc Hạ Bậc Trong Lượng Giác
Hạ bậc là kỹ thuật chuyển lũy thừa cao của các hàm lượng giác như sin, cos, tan về bậc thấp hơn. Mục tiêu là giúp biểu thức trở nên đơn giản, dễ tính toán và tích phân hơn.
Ví dụ quen thuộc: $ \sin^2x = \frac{1 – \cos(2x)}{2}, \quad \cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $
Từ công thức bậc hai này, ta có thể tiếp tục biến đổi để hạ bậc bậc bốn, tức là đưa sin⁴x hoặc cos⁴x về dạng chứa góc $2x$ và $4x$.
2. Công Thức Hạ Bậc Cho Sin⁴x Và Cos⁴x
Biến đổi sin⁴x
Ta bắt đầu với công thức quen thuộc: $ \sin^2x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} $
Bình phương hai vế: $ \sin^4x = \left(\frac{1 – \cos(2x)}{2}\right)^2 $
Khai triển biểu thức: $ \sin^4x = \frac{1 – 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} $
Tiếp tục hạ bậc cho $\cos^2(2x)$: $ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} $
Thay vào: $ \sin^4x = \frac{1 – 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{3 – 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} $
Kết quả: $ \sin^4x = \frac{3 – 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} $org/wp-admin/post-new.php
Biến đổi cos⁴x
Tương tự, ta có: $ \cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $
Bình phương: $ \cos^4x = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} $
Hạ bậc cho $\cos^2(2x)$: $ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} $
Thay vào và rút gọn: $ \cos^4x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} $
Kết quả: $\cos^4x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$
Bảng Tổng Hợp Dễ Nhớ
| Hàm lượng giác | Dạng hạ bậc |
|---|---|
| $\sin^4x$ | $\frac{3 – 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$ |
| $\cos^4x$ | $\frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$ |
Mẹo học nhanh:
Hãy nhớ quy tắc “sin giảm – cos tăng”:
- sin⁴x có dấu “−” trước 4cos2x
- cos⁴x có dấu “+” trước 4cos2x
3. Hạ Bậc Cho Tan⁴x Và Cot⁴x
Mặc dù không phổ biến bằng sin và cos, nhưng đôi khi ta cũng cần hạ bậc tan⁴x hoặc cot⁴x trong bài toán rút gọn.
Dựa vào công thức: $ \tan^2x = \frac{1 – \cos(2x)}{1 + \cos(2x)} $
Từ đó: $ \tan^4x = \left(\frac{1 – \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}\right)^2 $
Với cách biến đổi tương tự, bạn có thể rút gọn để biểu diễn tan⁴x dưới dạng có cos(2x) hoặc sin(2x).
Cách làm này cũng áp dụng được cho $\cot^4x$ bằng cách đảo ngược phân số.
👉 Mẹo nhỏ: Không cần ghi nhớ công thức riêng cho tan⁴x và cot⁴x — chỉ cần quy đổi về sin và cos trước, sau đó áp dụng hạ bậc như thông thường.
4. Ứng Dụng Của Công Thức Hạ Bậc 4 Lượng Giác
Rút gọn biểu thức
Một ví dụ đơn giản: $ \sin^4x + \cos^4x = ? $
Thay công thức hạ bậc vào: $ \frac{3 – 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} + \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} = \frac{3 + 3 + 2\cos(4x)}{8} = \frac{3 + \cos(4x)}{4} $
Kết quả là một biểu thức gọn gàng, chỉ còn bậc 4x.
Liên hệ với các công thức nhân góc
Nếu bạn để ý, trong biểu thức hạ bậc 4, ta xuất hiện cả $\cos(2x)$ và $\cos(4x)$.
Điều này cho thấy mối quan hệ mật thiết giữa hạ bậc và nhân góc:
- $2x$ liên quan đến công thức nhân đôi góc
- $4x$ liên quan đến việc mở rộng góc gấp đôi nhiều lần
5. Câu hỏi thường gặp
Công thức hạ bậc bậc 4 giúp biến đổi các biểu thức như $\sin^4 x$, $\cos^4 x$ thành dạng có bậc thấp hơn để dễ tính hoặc rút gọn.
Cụ thể: $ \sin^4 x = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8} $
$ \cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} $
Mở rộng:
Hai công thức này được suy ra bằng cách áp dụng liên tiếp công thức hạ bậc bậc 2: $ \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $
Sau đó bình phương và rút gọn.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức $A = \sin^4 x + \cos^4 x$.
Áp dụng công thức trên: $ A = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8} + \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} $
$ A = \frac{6 + 2\cos 4x}{8} = \frac{3 + \cos 4x}{4} $
Mở rộng:
Kết quả $A = \frac{3 + \cos 4x}{4}$ thường gặp trong các bài toán rút gọn, tính giá trị cực đại – cực tiểu hoặc giải phương trình lượng giác.
Áp dụng công thức hạ bậc bậc 4: $ \sin^4 x = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8} $
Ví dụ rút gọn:
$B = 2\sin^4 x – 1 = 2\left(\frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8}\right) – 1$
$B = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x – 4}{4} = \frac{-1 – 4\cos 2x + \cos 4x}{4}$
Mở rộng:
Khi gặp bài toán có $\sin^4 x$ hoặc $\cos^4 x$, bạn nên chuyển về dạng $\cos 2x$ và $\cos 4x$ để dễ so sánh, cộng, trừ hay tích phân.
Ta có: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 – 2\sin^2 x \cos^2 x$
Vì $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, nên: $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 – 2\sin^2 x \cos^2 x$
Mà $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1 – \cos 4x}{8}$ → $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 – \frac{1 – \cos 4x}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4}$
Mở rộng:
Kết quả này rất hữu ích khi tính giá trị cực đại, cực tiểu hoặc giải bài tập trắc nghiệm vì chỉ còn một hàm $\cos 4x$ duy nhất.
Giả sử cần giải phương trình: $ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} $
Áp dụng công thức đã chứng minh: $ \frac{3 + \cos 4x}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 4x = -1 $
→ $4x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
Mở rộng:
Cách hạ bậc này giúp chuyển phương trình có bậc cao (bậc 4) về dạng cơ bản $\cos kx = a$, rất thuận lợi khi giải nhanh hoặc xử lý bằng máy tính cầm tay.
6. Tổng Kết
Công thức hạ bậc bậc 4 là một công cụ quan trọng trong lượng giác, giúp:
- Rút gọn biểu thức phức tạp về dạng đơn giản hơn.
- Tính toán, tích phân hoặc chứng minh các đẳng thức nhanh chóng.
- Hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa góc nhân đôi, nhân ba và hạ bậc.
Hãy ghi nhớ hai công thức chính:
$\sin^4x = \frac{3 – 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}, \quad\cos^4x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$
Để hoàn thiện hệ thống kiến thức về hạ bậc, bạn nên tìm hiểu thêm công thức hạ bậc 5 lượng giác – nơi tổng hợp chi tiết cách rút gọn sin⁵x, cos⁵x cùng các ví dụ minh họa giúp bạn áp dụng dễ dàng trong bài thi và thực hành.