Trong các bài toán lượng giác nâng cao, việc rút gọn các biểu thức chứa sin⁵x hoặc cos⁵x thường gây khó khăn nếu ta không nắm rõ quy luật hạ bậc. Đây chính là lúc công thức hạ bậc bậc 5 lượng giác phát huy tác dụng.
Công thức này giúp chuyển những biểu thức có bậc cao về dạng bậc thấp hơn, giúp quá trình tính toán, chứng minh hay giải phương trình lượng giác trở nên nhanh gọn và chính xác.
Nếu bạn chưa quen với cách hạ bậc từ các bậc thấp hơn, bạn nên xem trước bài tổng hợp về công thức hạ bậc lượng giác để có nền tảng vững chắc trước khi đi sâu vào phần này.
1. Ôn tập ngắn về quy luật hạ bậc lượng giác
Các công thức hạ bậc đều dựa trên nguyên tắc: Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba, nhân bốn góc để đưa hàm mũ cao về dạng góc nhỏ hơn.
Ví dụ:
- Với bậc 2, ta hạ bậc sin²x, cos²x về dạng $\cos(2x)$.
- Với bậc 3 hoặc 4, ta dùng $\sin(3x)$ hoặc $\cos(4x)$ để rút gọn.
Đến bậc 5, ta mở rộng quy luật này để đưa sin⁵x và cos⁵x về dạng có $\sin(x)$, $\sin(3x)$ và $\sin(5x)$ (tương tự với cos).
Nếu bạn chưa quen, có thể xem lại phần các công thức hạ bậc 2; hạ bậc 3 hoặc Hạ Bậc 4 để dễ nhận ra quy luật hệ số khi đi lên các bậc cao hơn.
2. Công thức hạ bậc 5 lượng giác
Dưới đây là hai công thức chuẩn bạn cần ghi nhớ:
Công thức hạ bậc cho sin⁵x: $\sin^5x = \frac{10\sin x – 5\sin 3x + \sin 5x}{16}$
Công thức hạ bậc cho cos⁵x: $\cos^5x = \frac{10\cos x + 5\cos 3x + \cos 5x}{16}$
Như bạn thấy, hai công thức có quy luật đối xứng ở phần dấu:
- Với sin⁵x, dấu của các số hạng xen kẽ (+, −, +).
- Với cos⁵x, tất cả đều mang dấu “+”.
Điều này bắt nguồn từ tính chất lẻ/chẵn của các hàm sin và cos khi khai triển từ công thức nhân góc.
3. Cách ghi nhớ nhanh
Nhiều học sinh thường gặp khó khăn khi phải nhớ quá nhiều hệ số. Một mẹo nhỏ là hãy quan sát dãy hệ số Pascal tương ứng với bậc 5: 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1.
Từ đó, khi hạ bậc, ta chỉ cần ghi nhớ ba hệ số chính trong tử số: 10 – 5 – 1, và xác định dấu dựa theo tính chất của sin hoặc cos.
Cụ thể:
- Sin: xen kẽ dấu trừ ở giữa → $(+, -, +)$
- Cos: giữ nguyên tất cả dấu dương
Mẹo học: “Sin lẻ dấu đổi, Cos chẵn dấu nguyên.”
4. Ứng dụng
Công thức này được sử dụng phổ biến trong ba dạng bài chính:
Rút gọn biểu thức
Ví dụ: $ A = \sin^5x + \cos^5x $
Áp dụng công thức hạ bậc ta được: $ A = \frac{10(\sin x + \cos x) – 5(\sin 3x – \cos 3x) + (\sin 5x + \cos 5x)}{16} $
Từ đây, có thể tiếp tục rút gọn dựa trên công thức cộng góc để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn.
Giải phương trình lượng giác
Khi gặp phương trình chứa sin⁵x hoặc cos⁵x, thay bằng công thức hạ bậc giúp đưa phương trình về dạng có $\sin x$, $\sin 3x$, dễ dàng tìm nghiệm hơn.
Ví dụ: $ \sin^5x = \frac{1}{4} $
→ Thay công thức hạ bậc → Phương trình chỉ còn $\sin x, \sin 3x, \sin 5x$ → dễ giải hơn nhiều.
6. Bài tập công thức hạ bậc 5 lượng giác
Bài 1: Rút gọn biểu thức $B = \sin^5x – \cos^5x$.
Bài 2: Giải phương trình $\cos^5x = \frac{1}{2}$.
Bài 3: Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^5x,dx$.
Bài 4: Chứng minh rằng $\sin^5x + \cos^5x = 1 – \frac{5}{8}\sin^22x$.
Bài 5: Rút gọn biểu thức $C = \sin^5x + \sin^35x$.
👉 Gợi ý: Sử dụng công thức ở phần 3 để biến đổi từng biểu thức, sau đó áp dụng các công thức cộng/trừ góc để rút gọn.
7. Câu hỏi thường gặp
Công thức hạ bậc cho các hàm bậc năm như sau: $ \sin^5x = \frac{10\sin x – 5\sin(3x) + \sin(5x)}{16} $
$ \cos^5x = \frac{10\cos x + 5\cos(3x) + \cos(5x)}{16} $
Giải thích mở rộng:
Công thức này được suy ra bằng cách dùng công thức nhân đôi và hạ bậc liên tiếp từ $\sin^2x$ và $\cos^2x$.
Khi áp dụng trong bài tập rút gọn biểu thức lượng giác, công thức giúp chuyển các hàm bậc cao về dạng cơ bản (bậc 1).
Ta dùng đồng nhất thức sau:
$\sin^5x = \frac{1}{16}\left[10\sin x – 5\sin(3x) + \sin(5x)\right]$
Nếu muốn biểu diễn hoàn toàn theo cos, ta dùng liên hệ $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right)$, suy ra:
$\sin^5x = \frac{1}{16}\left[10\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) – 5\cos\left(\frac{\pi}{2} – 3x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} – 5x\right)\right]$
Mở rộng:
Việc chuyển đổi này thường dùng trong bài chứng minh đẳng thức lượng giác, đặc biệt khi cần đồng nhất biểu thức toàn cos hoặc toàn sin.
Ta áp dụng công thức: $\sin^5x = \frac{10\sin x – 5\sin(3x) + \sin(5x)}{16}$
Ví dụ: Rút gọn biểu thức $2\sin^5x$: $2\sin^5x = \frac{10\sin(2x) – 5\sin(6x) + \sin(10x)}{8}$
Học sinh được mở rộng từ công thức cơ bản:
$\sin^2x = \frac{1 – \cos2x}{2}, \quad \cos^2x = \frac{1 + \cos2x}{2}$
Bằng cách nhân lặp lại và hạ dần bậc, ta có thể tìm được các công thức cao hơn như bậc 3, bậc 4, và bậc 5.
Cụ thể:
$\sin^5x = \frac{10\sin x – 5\sin(3x) + \sin(5x)}{16}$
$\cos^5x = \frac{10\cos x + 5\cos(3x) + \cos(5x)}{16}$
Mở rộng:
Học sinh cần hiểu bản chất của việc “hạ bậc” là biến hàm bậc cao (như $\sin^5x$) về tổ hợp tuyến tính của các hàm đơn giản (như $\sin x$, $\sin3x$, $\sin5x$).
Ứng dụng phổ biến gồm:
Rút gọn biểu thức phức tạp chứa $\sin^5x$, $\cos^5x$
Tính tích phân các hàm bậc cao trong toán học hoặc vật lý
Chứng minh các đẳng thức có dạng $\sin^5x + \cos^5x$
Ví dụ: Rút gọn: $\sin^5x + \cos^5x = \frac{1}{16}\bigl[10(\sin x + \cos x) – 5(\sin3x – \cos3x) + (\sin5x + \cos5x)\bigr]$
Mở rộng:
Khi làm bài tập, nên kết hợp với các công thức nhân đôi và tổng – tích để đưa biểu thức về dạng dễ tính hoặc dễ chứng minh.
8. Tổng kết
Công thức hạ bậc 5 lượng giác là một phần mở rộng tự nhiên của chuỗi công thức hạ bậc từ bậc 2, 3, 4.
Việc ghi nhớ quy luật hệ số và dấu giúp bạn dễ dàng áp dụng trong mọi tình huống: từ rút gọn biểu thức, giải phương trình cho đến chứng minh đẳng thức.
Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập nhỏ để quen tay, và đừng quên xem lại công thức hạ bậc lượng giác tổng hợp để hoàn thiện tư duy biến đổi của bạn.