Các hàm lượng giác như sin, cos, tan không chỉ là những khái niệm trừu tượng mà còn là công cụ thiết yếu, giúp con người giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp trong thực tiễn. Việc tính toán chính xác giá trị lượng giác đóng vai trò then chốt, đòi hỏi sự hiểu biết sâu rộng và kỹ năng vững vàng. Hãy cùng khám phá các phương pháp tính giá trị lượng giác để tự tin chinh phục những thách thức toán học đầy thú vị!
Bài tập 1. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha = \frac{2017\pi}{3}\).
Lời giải
Ta có:
$\frac{{2017\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + 672\pi $
$ \Rightarrow \cos \left( {\frac{{2017\pi }}{3}} \right)$ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + 672\pi } \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow \sin \frac{{2017\pi }}{3} = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad $
$\tan \frac{{2017\pi }}{3} = \sqrt 3 $
$\cot \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$
Bài tập 2. Cho \(\tan(\pi + x) = 1 – \sqrt{2}\) với \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Tính \(\cot\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\).
Lời giải
Bài tập 3. Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(\sin \left(\alpha – \frac{3\pi}{2} \right)\).
Lời giải
Ta có: $\sin \left( {\alpha – \frac{{3\pi }}{2}} \right)$ $ = \sin \left( {\alpha – 2\pi + \frac{\pi }{2}} \right)$ $ = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ $ = \cos \alpha = \frac{1}{3}.$
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức: $A = \cos(5\pi – x) – \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x \right) + \tan \left(\frac{3\pi}{2} – x \right) + \cot(3\pi – x).$
Lời giải
Ta có $\cos(5\pi – x) = \cos(\pi – x + 2.2\pi) = \cos(\pi – x) = -\cos x;$
$\sin \left(\frac{3\pi}{2} + x \right) = -\sin \left(\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = -\cos x;$
$\tan \left(\frac{3\pi}{2} – x \right) = \tan \left(\pi + \frac{\pi}{2} – x \right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} – x \right) = \cot x;$
$\cot(3\pi – x) = \cot(-x) = -\cot x;$
Suy ra $A = -\cos x – (-\cos x) + \cot x + (-\cot x) = 0.$
Bài tập 5. Rút gọn biểu thức $A = \cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) + \cos (2\pi – x) + \cos (3\pi + x).$
Lời giải
Ta có: $ \begin{cases} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x \\ \cos (2\pi – x) = \cos x \\ \cos (3\pi + x) = -\cos x \end{cases} $
$ \Rightarrow A = -\sin x + \cos x – \cos x = -\sin x. $
Bài tập 6. Rút gọn biểu thức $D = \cos(5\pi – x) – \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x \right) + \tan \left(\frac{3\pi}{2} – x \right) + \cot(3\pi – x).$
Lời giải
Ta có $\cos(5\pi – x) = \cos(4\pi + \pi – x) = \cos(\pi – x) = -\cos x;$
$\sin \left(\frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin \left(2\pi – \frac{\pi}{2} + x \right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x;$
$\tan \left(\frac{3\pi}{2} – x \right) = \tan \left(\pi + \frac{\pi}{2} – x \right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} – x \right) = \cot x;$
$\cot(3\pi – x) = \cot(-x) = -\cot x;$ $\Rightarrow D = -\cos x – \sin x.$
Bài tập 7. Cho tam giác \(ABC\), chứng minh rằng \(\sin(A + B + 2C) = -\sin C\).
Lời giải
Ta có \(A + B + C = 180^\circ\)
\(\Rightarrow A + B + 2C = 180^\circ + C\).
\(\Rightarrow \sin(A + B + 2C) = \sin(180^\circ + C) = -\sin C\).
Bài tập 8. Tính giá trị của biểu thức $B = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \ldots + \cos 180^\circ.$
Lời giải
Ta có \(\cos(180^\circ – x) = -\cos x\)
\(\Rightarrow \cos x + \cos (180^\circ – x) = 0\).
$ \begin{cases} \cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0 \\ \cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0 \\ \cos 60^\circ + \cos 120^\circ = 0 \\ \cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0 \end{cases} $
\(\Rightarrow B = \cos 90^\circ + \cos 180^\circ = -1\).
Bài tập 9. Tính giá trị của biểu thức $ A = \sin \frac{7\pi}{6} + \cos 9\pi + \tan \left(-\frac{5\pi}{4}\right) + \cot \frac{7\pi}{2}. $
Lời giải
Ta có $ A = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6} \right) + \cos (\pi + 4.2\pi) – \tan \left(\pi + \frac{\pi}{4} \right) + \cot \left(\frac{\pi}{2} + 3\pi \right). $
$ = -\sin \frac{\pi}{6} + \cos \pi – \tan \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\pi}{2}. $
$ = -\frac{1}{2} – 1 – 1 + 0 = -\frac{5}{2}. $
Bài tập 10. Với điều kiện có nghĩa, hãy rút gọn biểu thức sau $ B = \sqrt{2} – \frac{1}{\sin(x + 2013\pi)} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 – \cos x}} $ với \(\pi < x < 2\pi\).
Lời giải
Ta có $ \sin(x + 2013\pi) = \sin(x + \pi + 1006.2\pi) = \sin(x + \pi) = -\sin x. $
Do đó $ B = \sqrt{2} + \frac{1}{\sin x} \cdot \sqrt{\frac{1 – \cos x + 1 + \cos x}{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}. $
$ = \sqrt{2} + \frac{1}{\sin x} \cdot \sqrt{\frac{2}{1 – \cos^2 x}}. $
$ = \sqrt{2} + \frac{1}{\sin x} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sin^2 x}}. $
$ = \sqrt{2} \left( 1 + \frac{1}{\sin x |\sin x|} \right). $
Vì \(\pi < x < 2\pi\) nên \(\sin x < 0\), do đó $ B = \sqrt{2} \left( 1 – \frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\sqrt{2} \cot^2 x. $
Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu và thực hành các phương pháp tính giá trị lượng giác thông qua những bài tập cụ thể kèm lời giải chi tiết. Từ việc nắm vững các công thức cơ bản như sin, cos, tan, đến cách áp dụng chúng vào các bài toán thực tế, bạn đã có thêm hành trang để chinh phục chủ đề quan trọng này. Hy vọng rằng, với những kiến thức và kỹ năng đã được trình bày, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán lượng giác. Hãy tiếp tục rèn luyện, khám phá và áp dụng chúng vào thực tiễn.