Lượng giác không chỉ là một phần quan trọng của toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, từ kỹ thuật, thiên văn đến công nghệ. Trong đó, tính giá trị lượng giác của một cung giúp ta xác định \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\),… của một góc, là nền tảng cho các bài toán lượng giác nâng cao. Hiểu rõ phần này giúp học sinh rèn tư duy logic, biến đổi biểu thức linh hoạt và ứng dụng hiệu quả. Hãy cùng khám phá chủ đề này để thấy toán học không chỉ lý thuyết mà còn đầy thú vị và hữu ích!
I. Tính giá trị lượng giác của một cung
Để tính giá trị lượng giác của 1 cung ta dựa vào các hằng đẳng thức lượng giác:
Ngoài ra, cần phải xác định dấu của các hàm số lượng giác của cung đó.
II. Bài tập
Bài tập 1. Biết \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\). Tính giá trị của \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\).
Lời giải
Do \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\) nên \(\cos \alpha < 0\).
Mặt khác \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) nên $ \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}. $ (1)
Từ (1) và (2), suy ra \(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\). (2)
Từ đó suy ra $ \tan \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}. $
Bài tập 2. Cho \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính \(\sin \alpha\) và \(\tan \alpha\).
Lời giải
Ta có: $ \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha = 1 – \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {\sin \alpha = \frac{5}{{13}}}\\ {\sin \alpha = – \frac{5}{{13}}} \end{array}} \right.$
Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\sin \alpha > 0\), do đó \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\).
Từ đó ta có: $ \tan \alpha = -\frac{5}{12}. $
Bài tập 3. Cho \(\tan \alpha = -\frac{3}{4}\) ở đó \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính giá trị của \(\sin \alpha\).
Lời giải
Ta có $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{16}{25}.$
Từ đó suy ra $ \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}. $
Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\sin \alpha > 0\), do đó \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
Bài tập 4. Cho \(\tan \alpha = 2\), tính giá trị biểu thức \(M = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha\).
Lời giải
Ta có $ M = \frac{\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}. $
Chia cả tử và mẫu cho \(\cos^2 \alpha\), ta được $M = \frac{1 – \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} \Rightarrow M = \frac{1 – 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5}.$
Bài tập 5. Cho \(\cot \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức $ M = \frac{2\sin \alpha – 3\cos \alpha}{5\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}. $
Lời giải
Ta có
$ M = \frac{2\sin \alpha – 3\cos \alpha}{5\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha} $ $ = \frac{2\left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) – 3\cot \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right)}{5 + \cot^3 \alpha} $ $ = \frac{-3\cot^3 \alpha + 2\cot^2 \alpha – 3\cot \alpha + 2}{5 + \cot^3 \alpha} $ $ = -\frac{35}{16}. $
Bài tập 6. Cho \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) và \(\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}\). Biết \(A = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = a + b\sqrt{5}\) với \(a, b \in \mathbb{Q}\) và \(\frac{a}{b} = \frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Tính \(M = p – q\).
Lời giải
Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\pi < 2\alpha < 2\pi \Rightarrow \sin 2\alpha < 0\).
$\cos 2\alpha = -\frac{1}{9} \Rightarrow \sin^2 2\alpha = 1 – \cos^2 2\alpha = 1 – \frac{1}{81} = \frac{80}{81} \Rightarrow \sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}.$
Suy ra $ A = -\frac{1}{9} – \frac{4\sqrt{5}}{9}. $ $ \Rightarrow \begin{cases} a = -\frac{1}{9} \\ b = -\frac{4}{9} \end{cases} $ $ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{4} \Rightarrow p = 1, q = 4 \Rightarrow p – q = -3. $
Vậy \(M = -3\).
Bài tập 7. Cho \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\), tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{2\sin^2 \alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha – 4\cos^2 \alpha}{5\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha}\).
Lời giải
Dễ thấy \(\cos \alpha \neq 0\), chia cả tử và mẫu của biểu thức \(M\) cho \(\cos^2 \alpha\) ta được:
$M = \frac{{2{{\tan }^2}\alpha + 3\tan \alpha – 4}}{{5 – {{\tan }^2}\alpha }}$ $ = \frac{{2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} – 4}}{{5 – \frac{1}{4}}}$ $ = – \frac{8}{{19}}.$
Bài tập 8. Biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{5}{4}\) và \(\sin \alpha > \cos \alpha\). Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = \sin \alpha \cdot \cos \alpha\).
b) \(B = \sin \alpha – \cos \alpha\).
Lời giải
a) Ta có $ \frac{25}{16} = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha. $
Từ đó suy ra $ 2A = \frac{9}{16} \Rightarrow A = \frac{9}{32}. $
b) Theo giả thiết ta có \(B > 0\) và $B^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha – 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1 – \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.$
Từ đó suy ra $B = \frac{\sqrt{7}}{4}.$
Khi hiểu và tính giá trị lượng giác của một cung không chỉ giúp ta giải quyết các bài toán hình học mà còn vận dụng vào các bài toán thức tế. Khi nắm vững \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), bạn sẽ thấy toán học không chỉ là những con số khô khan mà là công cụ mạnh mẽ giải quyết nhiều bài toán thực tế. Hãy tiếp tục rèn luyện, chinh phục lượng giác hôm nay, bạn đang tiến gần hơn đến thành công trong tương lai!