1. Giới thiệu
Trong lượng giác, mỗi góc đều có thể được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác. Việc xác định tọa độ của điểm này là bước nền tảng để hiểu các giá trị $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, và $\tan \alpha$.
Bài viết này hướng dẫn bạn cách xác định điểm trên đường tròn lượng giác một cách trực quan, chính xác và có hệ thống, giúp tránh nhầm lẫn giữa các phần tư, dấu của sin–cos, cũng như hiểu được vị trí hình học của các góc.
2. Cấu trúc cơ bản của đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm (O(0,0)), bán kính (R = 1), có phương trình:
$x^2 + y^2 = 1$
Mỗi điểm (M(x, y)) trên đường tròn tương ứng với một góc lượng giác $\alpha$ và được xác định bởi:
$x = \cos \alpha, \quad y = \sin \alpha$
Như vậy, việc xác định điểm trên đường tròn chính là xác định cặp tọa độ $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ của góc $\alpha$.
3. Xác định điểm theo góc lượng giác
3.1. Góc dương và góc âm
- Góc dương: quay ngược chiều kim đồng hồ từ trục Ox dương.
- Góc âm: quay theo chiều kim đồng hồ.
Ví dụ:
- Với $\alpha = 60^\circ$, ta có:$M(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- Với $\alpha = -45^\circ$, ta có:$M(\cos(-45^\circ), \sin(-45^\circ)) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
3.2. Đổi đơn vị góc (Độ ↔ Radian)
Trong đường tròn lượng giác, góc thường được tính bằng radian, theo quy tắc:
$\pi \text{ rad} = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$
Ví dụ:
$\alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ rad
→ $M(\cos \frac{2\pi}{3}, \sin \frac{2\pi}{3}) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
4. Xác định điểm theo độ dài cung lượng giác
Trên đường tròn lượng giác có bán kính $R = 1$, độ dài cung $l$ tương ứng với góc $\alpha$ được cho bởi:
$l = R \times \alpha \Rightarrow l = \alpha \quad \text{(nếu } R = 1)$
Vì vậy, khi biết độ dài cung, ta có thể xác định điểm:
$M(\cos l, \sin l)$
Ví dụ:
- Với $l = \frac{\pi}{3}$:$M\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- Với $l = \pi$:$M(-1, 0)$
5. Xác định điểm qua phần tư của góc
Để biết dấu của sin và cos, ta chỉ cần xem phần tư của góc.
| Góc (độ) | Phần tư | Dấu của $\cos$ | Dấu của $\sin$ | Tọa độ M |
|---|---|---|---|---|
| $0°$–$90°$ | I | + | + | $(+, +)$ |
| $90°$–$180°$ | II | – | + | $(–, +)$ |
| $180°$–$270°$ | III | – | – | $(–, –)$ |
| $270°$–$360°$ | IV | + | – | $(+, –)$ |
Nhờ quy luật này, ta có thể nhanh chóng xác định dấu của toạ độ điểm mà không cần bấm máy tính.
6. Mối liên hệ giữa các điểm đối xứng
Trên đường tròn lượng giác, các điểm đối xứng nhau giúp ta suy ra công thức giữa các góc đặc biệt:
| Vị trí đối xứng | Công thức | Giải thích |
|---|---|---|
| Qua trục Ox | $M'(\cos \alpha, -\sin \alpha)$ | $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ |
| Qua trục Oy | $M”(-\cos \alpha, \sin \alpha)$ | $\cos(\pi – \alpha) = -\cos \alpha$ |
| Qua gốc O | $M”'(-\cos \alpha, -\sin \alpha)$ | $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$ |
Những mối quan hệ này là cơ sở cho các công thức biến đổi góc trong lượng giác (góc đối, góc bù, góc phụ…).
7. Ví dụ tổng hợp
Ví dụ:
Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường tròn lượng giác ứng với góc $\alpha = 225^\circ$.
Giải:
$\alpha = 225^\circ = 180^\circ + 45^\circ \Rightarrow \text{góc ở phần tư III}$
Khi đó:
$\cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy:
$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
8. FAQs
Trong đường tròn lượng giác bán kính 1, điểm $M(x, y)$ biểu diễn góc lượng giác $\alpha$ nếu tia $OM$ tạo với tia gốc $OA$ một góc lượng giác $\alpha$. Khi đó: $ x = \cos \alpha, \quad y = \sin \alpha $
Mở rộng:
Điều này có nghĩa là toạ độ của điểm biểu diễn góc $\alpha$ chính là giá trị $\cos \alpha$ và $\sin \alpha$.
Khi biết $\alpha$, ta dễ dàng xác định điểm đó: $M(\cos \alpha, \sin \alpha)$
Trả lời:
Nếu $\alpha$ không nằm trong đoạn $[0, 2\pi)$, ta sử dụng công thức rút gọn:
$\alpha = \beta + k \cdot 2\pi, \quad \text{với } \beta \in [0, 2\pi),; k \in \mathbb{Z}$
Điểm biểu diễn góc $\alpha$ trùng với điểm biểu diễn góc $\beta$.
Mở rộng:
Ví dụ: $ \alpha = 5\pi = \pi + 2\pi \cdot 2 $ → điểm của $5\pi$ trùng với điểm của $\pi$.
Nếu $\alpha$ âm, chỉ cần cộng thêm $2\pi$ cho đến khi nó thuộc khoảng $[0, 2\pi)$.
Trả lời:
Với $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$, ta có: $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Vậy điểm biểu diễn là: $ M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $
Mở rộng:
Tương tự, ta có thể xác định các góc đặc biệt khác như $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ$,… bằng cách nhớ bảng giá trị sin – cos.
Trả lời:
Nếu biết $\sin \alpha = y_0$ hoặc $\cos \alpha = x_0$, ta có thể tìm toạ độ còn lại bằng công thức: $ x = \pm \sqrt{1 – y_0^2}, \quad y = \pm \sqrt{1 – x_0^2} $
Dấu $+$ hay $-$ phụ thuộc vào phần tư mà góc $\alpha$ nằm trong.
Mở rộng:
Ví dụ: nếu $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ và $\alpha$ nằm ở phần tư III thì $ y = -\frac{1}{2}, \quad x = -\sqrt{1 – \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Vậy điểm biểu diễn là: $ M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) $
Trả lời:
Khi giải phương trình như $\sin \alpha = a$ hoặc $\cos \alpha = b$, ta tìm điểm biểu diễn theo giá trị $a$ hoặc $b$.
Mỗi điểm ứng với một hoặc hai góc trong khoảng $[0, 2\pi)$.
Ví dụ: $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $ → điểm có tọa độ: $ M\left(\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ → tương ứng với hai nghiệm: $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \alpha = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi $
Mở rộng:
Nhờ hình học đường tròn lượng giác, ta có thể dễ dàng nhận biết nghiệm của phương trình lượng giác mà không cần ghi nhớ máy móc, đặc biệt trong các bài toán tính nhanh và trắc nghiệm.
9. Lời Kết
Khi đã hiểu cách xác định điểm trên đường tròn lượng giác, bạn sẽ dễ dàng hình dung mối liên hệ giữa góc, cung, và các giá trị lượng giác tương ứng. Mỗi điểm trên đường tròn biểu diễn một vị trí duy nhất của góc, từ đó giúp ta đọc được giá trị $\sin$, $\cos$, $\tan$ hay $\cot$ một cách trực quan.
Để nắm chắc bản chất của mô hình này, bạn nên xem lại bài Đường tròn lượng giác – nền tảng giúp hiểu vì sao ta có thể biểu diễn các giá trị lượng giác bằng tọa độ điểm trên đường tròn. Sau đó, hãy kết hợp đọc thêm bài Cung lượng giác và góc lượng giác, nơi bạn sẽ thấy rõ mối quan hệ giữa số đo cung, độ lớn góc và vị trí điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.