Bên cạnh việc tìm tập xác định và tập giá trị, xét tính chẵn – lẻ và tính tuần hoàn của hàm số lượng giác là dạng toán quan trọng giúp học sinh hiểu sâu bản chất của hàm số và rút gọn đáng kể quá trình giải bài. Nội dung này thường xuất hiện trong các bài toán khảo sát hàm số, biến đổi biểu thức và giải phương trình lượng giác ở Toán 11. Phần “Xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số lượng giác” sẽ hệ thống rõ ràng các tiêu chí nhận biết, cách lập luận chính xác cho từng loại hàm, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, giúp học sinh nắm chắc phương pháp, tránh nhầm lẫn và vận dụng linh hoạt trong các dạng toán liên quan.
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y=-\sin x$.
B. $y=\cos x$.
C. $y=\cos x\sin x$.
D. $y=\sin x$.
Lời giải
Xét hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$$\Rightarrow \forall x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$
Đặt $f\left( x \right)=\cos x$. Khi đó $\forall x\in \mathbb{R}$: $f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=f\left( x \right)$.
Do đó $y=\cos x$ là hàm số chẵn.
Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
A. $y=\sin x$.
B. $y=\cos x$.
C. $y=\cot x$.
D. $y=\tan x$.
Lời giải
Xét hàm số $y=\cos x$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\Rightarrow \forall x\in D\Rightarrow -x\in D$.
Ta có $\cos \left( -x \right)=\cos x,\,\,\forall x\in D$ nên hàm số $y=\cos x$ là hàm chẵn.
Câu 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ?
A. $y=\tan x$.
B. $y=\cos \left( -x \right)$.
C. $y={{\sin }^{2}}x$.
D. $y={{\cot }^{2}}x$.
Lời giải
Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ theo tính chất hàm số lượng giác.
Các hàm số $y={{\sin }^{2}}x$; $y={{\cot }^{2}}x$; $y=\cos \left( -x \right)$ là hàm số chẵn.
Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số$y=\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$
A. $T=\pi $.
B. $T=4\pi $.
C. $T=2\pi $.
D. $T=6\pi $
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R};\,\,x+2\pi \in D;\,\,x-2\pi \in D;\forall x\in D$
Ta có: $y=\sin \left( x+\frac{\pi }{3}+2\pi \right)=\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$ do đó $T=2\pi $
Câu 5: Hàm số $y=\sin 2x$ có chu kì tuần hoàn là
A. $T=\pi $.
B. $T=\frac{\pi }{2}$.
C. $T=4\pi $.
D. $T=2\pi $.
Lời giải
Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin 2x$ là $T=\frac{2\pi }{|2|}=\pi $.
Câu 6: Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số $y=\cos x$ xác định với mọi số thực
b) Hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.
c) Hàm số $y=\sin \left( {{x}^{2}} \right)$ là hàm số lẻ.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=5\sin x+2$ bằng $2$
Lời giải
a) Đúng: Hàm số $y=\cos x$ xác định với mọi số thực
b) Hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi $
c) Xét hàm số $y=\sin \left( {{x}^{2}} \right)$.
Tập xác định $\mathbb{R}$ và $f\left( -x \right)=\sin {{\left( -x \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}}=f\left( x \right)$ nên đây là hàm số chẵn.
d) Ta có $-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -3\le 5\sin x+2\le 7$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-3$.
Câu 7: Tìm chu kì $T$ của hàm số $y=\sin \frac{x}{2}-\tan \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right).$
Lời giải
Hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì ${{T}_{1}}=4\pi .$
Hàm số $y=-\tan \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)$ tuần hoàn với chu kì ${{T}_{2}}=\frac{\pi }{2}.$
Suy ra hàm số $y=\sin \frac{x}{2}-\tan \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T=4\pi \approx 12,56$
Skip to PDF content