Trong các bài toán về hàm số lượng giác, việc xác định tập xác định và tập giá trị là bước nền tảng nhưng cũng rất dễ gây nhầm lẫn nếu không nắm chắc điều kiện của từng hàm. Dạng toán này xuất hiện xuyên suốt chương Hàm số lượng giác – Toán 11, thường được khai thác ở cả mức độ cơ bản lẫn vận dụng cao. Phần “Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác” sẽ giúp học sinh hệ thống lại các điều kiện xác định, giới hạn giá trị của từng dạng hàm, đồng thời hướng dẫn cách làm bài rõ ràng, logic kèm ví dụ minh họa chi tiết, giúp tránh sai sót và làm chủ dạng toán quan trọng này.
Phương pháp: Cần chú ý một số điều kiện sau:
- $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ xác định khi và chỉ khi $g\left( x \right)\ne 0$
- $y=\sqrt[2n]{f\left( x \right)}$ xác định khi và chỉ khi $f\left( x \right)\ge 0$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
- $\tan \left[ u\left( x \right) \right]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$
- $\cot \left[ u\left( x \right) \right]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$
Bài tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng
A. $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $.
B. $\cos x\ne 1\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $.
C. $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi $.
D. $\cos x\ne -1\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi $.
Lời giải
Ta có: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{3}{\sin 2x}+\frac{5}{\cos 2x}$. Điều kiện xác định hàm số là
A. $x\ne k\pi $.
B. $x\ne \frac{k\pi }{2}$.
C. $x\ne \frac{k\pi }{4}$.
D. $x\ne k2\pi $.
Lời giải
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x \ne 0\\ \cos 2x \ne 0 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0$$ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Bài tập 3: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\cos x-1}$.
A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left. \frac{\pi }{2}+k\pi \right|k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left. k2\pi \right|k\in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left. k\pi \right|k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $D=\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos x \ne 1$ $\Leftrightarrow x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left. k2\pi \right|k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 4: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\sin x}{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}$.
A. $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $.
B. $x\ne k2\pi $.
C. $x\ne k\pi $.
D. $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.
Lời giải
Điều kiện: ${{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x\ne 0$$\Leftrightarrow -\cos 2x\ne 0$$\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0$$\Leftrightarrow 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $$\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 5: Hàm số $y=\cot x$ có tập xác định là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời giải
Điều kiện xác định: $\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$
Skip to PDF content