Áp dụng tính chất của các giá trị lượng giác là dạng toán giúp học sinh khai thác mối quan hệ giữa các hàm lượng giác để rút gọn biểu thức và giải bài nhanh, chính xác. Nội dung này xuất hiện nhiều trong Toán 11, đóng vai trò quan trọng trong các bài toán biến đổi và vận dụng tổng hợp.
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức $A=\cos \left( \alpha -\frac{\pi }{2} \right)$, ta được:
A. $\cos \alpha $.
B. $\sin \alpha $.
C. $\cos \alpha $.
D. $-\sin \alpha $.
Lời giải
Ta có: $A=\cos \left( \alpha -\frac{\pi }{2} \right)$$=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)$$=\sin \alpha $.
Câu 7: Rút gọn biểu thức $M={{\cot }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x.$
A. $M={{\cot }^{2}}x.$
B. $M={{\cos }^{2}}x.$
C. $M=1.$
D. $M={{\cot }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x.$
Lời giải
Ta có $M = {\cot ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} – {\cos ^2}x$ $ = {\cos ^2}x\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)$ $ = {\cos ^2}x.{\cot ^2}x.$
Bài tập 2: Biết $\tan x=2$, giá trị của biểu thức $M=\frac{3\sin x-2\cos x}{5\cos x+7\sin x}$ bằng:
A. $\frac{4}{9}$.
B. $-\frac{4}{9}$.
C. $\frac{4}{19}$.
D. $-\frac{4}{19}$.
Lời giải
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $cosx$ ta có: $M=\frac{3\frac{\sin x}{\cos x}-2}{5+7\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{3.2-2}{5+7.2}=\frac{4}{19}$.
Cách 2: Ta có: $\tan x=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=2\Leftrightarrow \sin x=2\cos x$ thay $\sin x=2\cos x$ vào $M$:
$M=\frac{3.2\cos x-2\cos x}{5\cos x+7.2\cos x}=\frac{4\cos x}{19\cos x}=\frac{4}{19}$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $S=\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right)\sin \left( \pi -x \right)-\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)\cos \left( \pi -x \right)$ ta được
A. $S=0.$
B. $S={{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x.$
C. $S=2\sin x\cos x.$
D. $S=1.$
Lời giải
$\begin{array}{l} S = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\sin \left( {\pi – x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\cos \left( {\pi – x} \right)\\ = \sin x.\sin x – \cos x.\left( { – {\mkern 1mu} \cos x} \right)\\ = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1. \end{array}$
Bài tập 4: Cho góc lượng giác $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{3}{5},\,0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Giá trị $\sin $ của góc lượng giác $\alpha $ âm.
b) Giá trị $\tan $ của góc lượng giác $\alpha $ dương.
c) Giá trị của biểu thức $P={{\sin }^{2}}\alpha -2{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{2}{25}$.
d) Giá trị của biểu thức $Q=\tan \alpha +\cot \alpha >2$.
Lời giải
a) Sai: Vì $\,0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$
b) Đúng: Vì $\,0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0,\,\cos \alpha >0\Rightarrow \tan \alpha >0$
c) Vì $\cos \alpha = \frac{3}{5},\,$ $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$ $ \Rightarrow P = {\sin ^2}\alpha – 2{\cos ^2}\alpha $ $ = \frac{{16}}{{25}} – \frac{{18}}{{25}} = – \frac{2}{{25}}$.
d) Đúng: $Q=\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{4}{3}+\frac{3}{4}=\frac{25}{12}>2$
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức $A=2{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x$.
Lời giải
$\begin{align} & A=2{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x \\ & ={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x \\ & ={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x \\ & =2{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x=2 \\ \end{align}$
Bài tập 6: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ và $\tan \alpha -\cot \alpha =1$. Tính $P=\tan \alpha +\cot \alpha .$
Lời giải
$\begin{array}{l} \tan \alpha – \cot \alpha = 1\\ \Leftrightarrow \tan \alpha – \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha – \tan \alpha – 1 = 0\\ \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}. \end{array}$
Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ suy ra $\tan \alpha <0$ nên $\tan \alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ $ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{1 – \sqrt 5 }}.$
Thay $\tan \alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2}{1-\sqrt{5}}$ vào $P$ ta được $P=\frac{1-\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1-\sqrt{5}}=-\sqrt{5}\approx -2,24$
Bài tập 7: Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở $105{}^\circ $kinh đông, nhưng Quản Bạ ở $23{}^\circ $vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ $9{}^\circ $bắc. Hãy tính độ dài của cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính $6278km$.
Lời giải
Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng $23{}^\circ -9{}^\circ =14{}^\circ $.
Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng $\frac{6378.14.\pi }{180}\approx 1558\left( km \right)$
Skip to PDF content