Không phải lúc nào cũng trắc nghiệm — đôi khi bạn cần tự mình viết ra đáp án, không có 4 lựa chọn để “đoán mò” nữa. 12 bài tập trả lời ngắn hàm số lượng giác này là kiểu bài như vậy — ngắn gọn, thẳng thắn, và sẽ phản ánh rất trung thực xem bạn hiểu hàm số lượng giác đến đâu. Không nhiều, chỉ 12 câu thôi, nhưng làm xong mà đối chiếu được hết đáp án cuối bài thì yên tâm là phần này bạn đã nắm thật sự rồi đấy. File PDF vẫn có sẵn để in ra — lần này làm trên giấy lại càng quan trọng hơn!
Câu 1: Tập giá trị của hàm số $y=\cos 2x+1$ có bao nhiêu giá trị nguyên?
Lời giải
Trả lời: 3
Ta có: $-1\le \cos 2x\le 1\Leftrightarrow 0\le \cos 2x+1\le 2$. Vậy có 3 giá trị nguyên
Câu 2: Số giờ ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 400 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d\left( t \right)=3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12$ với $t\in Z$ và $0<t\le 365$.
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Lời giải
Trả lời: 171
a) Do $\sin x\le 1$ với mọi $x$ $\Leftrightarrow 3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12\le 15$ nên thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi $3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12=15$ với $t\in Z$ và $0<t\le 365$
$\Leftrightarrow \sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=1\Leftrightarrow \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi $
Tức là $t=364k+171$ với $k\in Z$
Mà $0<t\le 365$ nên $0<364k+171\le 365\Leftrightarrow \frac{-171}{364}<k\le \frac{194}{364}\Leftrightarrow k=0$.
Vậy thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất vào ngày thứ 171 trong năm.
Câu 3: Xét hàm số $f\left( x \right)~=~cos~2x$ trên $\left[ 0;~2\pi \right]$ có đồ thị như hình vẽ.
![Xét hàm số $f\left( x \right)~=~cos~2x$ trên $\left[ 0;~2\pi \right]$ có đồ thị như hình vẽ.](https://luonggiac.org/wp-content/uploads/luonggiac-12-bai-tap-tra-loi-ngan-ham-so-luong-giac-1.png)
Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của $x~\in ~\left[ 0;~2\pi \right]$ để $cos~2x~=~0$. Tổng tất cả các phần tử của T là.
Lời giải
Trả lời: 12,6
Dựa vào đồ thị T =$\left\{ ~\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}~;~\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};~\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right\}$.
Suy ra, tổng các phần tử trong tập hợp T là $~\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+~\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+~\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\approx \text{ }\!\!~\!\!\text{ }12,6.$
Câu 4: Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+3$. Tính $M+m$.
Lời giải
Trả lời: 6
Ta có
$\begin{array}{l} y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\\ = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3\\ = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \end{array}$
Câu 5: Độ sâu $h\left( m \right)$của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm $t$ sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức $h\left( t \right)=0,8\text{cos}\left( \text{0}\text{,5t} \right)+4$. Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu là $3,6m$ để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng $12$ tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên, có tất cả bao nhiêu thời điểm $t$ “ đẹp” để có thể hạ thủy. Biết rằng thời điểm $t$ được gọi là “đẹp “ là thời điểm $t$ nguyên , Ví dụ $t=1$ ; $t=2$ …
Lời giải
Trả lời: 9
Dựa vào đồ thị hàm số cos:
Những thời điểm tàu có thể hạ thuỷ là khi $0,8\text{cos}0,5t+4<3,6\Leftrightarrow \text{cos}0,5t\ge -0,5$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 \le 0,5t \le \frac{{2\pi }}{3}\\ \frac{{4\pi }}{3} \le 0,5t \le 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 \le t \le \frac{{4\pi }}{3}\\ \frac{{8\pi }}{3} \le t \le 12 \end{array} \right.$
Suy ra thời điểm tàu có thể hạ thuỷ là $t\in \left[ 0;4,19 \right]\cup \left[ 8,38;12 \right]$mà $t\in \mathbb{N}$ nên ta có $t\in \left\{ 0;1;2;3;4;9;10;11;12 \right\}$.
Vậy có tất cả 9 thời điểm đẹp để hạ thủy con tàu.
Câu 6: Số giờ ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 400 Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d\left( t \right)=3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12$ với $t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $0<t\le 365$. Hỏi trong năm không nhuận thì thành phố A có bao nhiêu ngày có 12 giờ ánh sáng mặt trời?
Lời giải
Trả lời: 2
Thành phố A có 12 giờ ánh sáng mặt trời nên $d\left( t \right)=12$
$\Leftrightarrow 3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12=12$$\Leftrightarrow \sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$$\Leftrightarrow t=80+182k$
Mà $0<t\le 365\Rightarrow 0<80+182k\le 365\Leftrightarrow -\frac{40}{91}<k\le \frac{285}{182}$
Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{align} & k=0 \\ & k=1 \\ \end{align} \right.$
Với $k=0\Rightarrow t=80$
Với $k=1\Rightarrow t=262$
Vậy có 2 ngày để thành phố A có 12 giờ ánh sáng mặt trời.
Câu 7: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số $y=3-2\cos 2x-{{\cos }^{2}}2x$ lần lượt là $M,\,m$. Tính giá trị biểu thức $2024M+2025m$.
Lời giải
Trả lời:$8096$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y=3-2\cos 2x-{{\cos }^{2}}2x$$=4-{{\left( \cos 2x+1 \right)}^{2}}$.
Lại có $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-1\le \cos 2x\le 1$$\Rightarrow 0\le \cos 2x+1\le 2$$\Rightarrow 0\le {{\left( \cos 2x+1 \right)}^{2}}\le 4$.
Do đó $0\le 4-{{\left( \cos 2x+1 \right)}^{2}}\le 4-0=4\Rightarrow 0\le y\le 4$.
$y=4$ khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$. Ta được $M=4$.
$y=0$ khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$. Ta được $m=0$.
Vậy $2024M+2025m=8096$.
Câu 8: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ $40{}^\circ $ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số
$d\left( t \right)=3\text{sin}\left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $100<t\le 365$.
Hỏi thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
Lời giải
Trả lời: $262$.
Ta có phương trình $3\text{sin}\left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12=12$
$\Leftrightarrow \text{sin}\left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)=k\pi \Leftrightarrow t=80+182k$
Với $t,k\in \mathbb{Z}$ và $100<t\le 365$ ta có $k=1$.
Vậy thành phố A có 12 giờ ánh sáng vào ngày thứ 262 của năm.
Câu 9: Guồng nước không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính $2,5m$; trục của nó đặt cách mặt nước $2m$. Khi guồng quay đều, khoảng cách $h\left( m \right)$ từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức $h=\left| y \right|$, trong đó $y=2,5\operatorname{s}\text{in}\left( 2\pi x-\frac{\pi }{2} \right)+2$ với $x$ là thời gian quay của guồng $\left( x\ge 0 \right)$. Giá trị lớn nhất của $h$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: $4,5$
Xét hàm số $y=2,5\operatorname{s}\text{in}\left( 2\pi x-\frac{\pi }{2} \right)+2$ với $x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Ta có:
$\begin{align} & -0,5\le 2,5\operatorname{s}\text{in}\left( 2\pi x-\frac{\pi }{2} \right)+2\le 4,5\,\,\,,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right) \\ & \Leftrightarrow -0,5\le y\le 4,5\,\,\,,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right) \\ \end{align}$
Câu 10: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $40{}^\circ $ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d\left( t \right)=3\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Gọi $a$ là ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất và $b$là ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất trong năm. Tính $a+b$.
Lời giải
Trả lời: $524$.
Do $0<t\le 365$ nên $-\frac{40\pi }{91}<\frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)\le \frac{285\pi }{182}$
Ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ứng với $t$ thỏa mãn điều kiện $\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=1$.
Dựa vào đồ thị hàm số $\sin $ và điều kiện $-\frac{40\pi }{91}<\frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)\le \frac{285\pi }{182}$ ta được
$\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=1\Leftrightarrow \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow t=171$.
Trong năm không nhuận, ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ $171$.
Ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ứng với $t$ thỏa mãn điều kiện $\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=-1$.
Dựa vào đồ thị hàm số $\sin $ và điều kiện $-\frac{40\pi }{91}<\frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)\le \frac{285\pi }{182}$ ta được
$\sin \left[ \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right) \right]=-1\Leftrightarrow \frac{\pi }{182}\left( t-80 \right)=\frac{3\pi }{2}\Leftrightarrow t=353$.
Trong năm không nhuận, ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ $353$.
Vậy $a+b=171+353=524$
Câu 11: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương,tương ứng. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số
$P\left( t \right)=110+10\sin \left( \frac{5\pi }{2}t \right)$.
Trong đó $P\left( t \right)$ là huyết áp tính theo đơn vị $\text{mmHg}$ và thời gian $t$ tính theo giây.Hỏi trong khoảng từ $0$đến $5$giây có bao nhiêu lần huyết áp là $120$ mmHg?
Lời giải
Trả lời: 6
Huyết áp là $120$ mmHg khi
$\begin{align} & P\left( t \right)=120\Leftrightarrow 110+10\sin \left( \frac{5\pi }{2}t \right)=120\Leftrightarrow \sin \left( \frac{5\pi }{2}t \right)=1 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{5\pi }{2}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=\frac{1+4k}{5}\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{align}$
Xét $0\,<t<5\,\Rightarrow \,\,0\,<\,\,\frac{1+4k}{5}\,<\,5\,\Leftrightarrow \,-\frac{1}{4}\,<\,k\,<\,6\,\,\Leftrightarrow \,\,k\,\in \,\,\left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}$ vì $k\in \mathbb{Z}.$
Vậy trong khoảng từ $0$đến $5$giây có$6$ lần huyết áp là $120$ mmHg.
Câu 12: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 9. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trực hoành và kinh tuyến ${{0}^{0}}$làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ ${{\varphi }^{0}}(-90<\varphi <90)$được cho bởi hàm số $y=30\tan (\frac{\pi }{180}\varphi )\,(cm)$. Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ dương lớn nhất nào nằm cách xích đạo không quá $30\,cm$trên bản đồ?
Lời giải
Trả lời: ${{45}^{0}}$.
Vì điểm cách xích đạo không quá $30cm$trên bản đồ nên ta có
$(-30\le y\le 30)$. Khi đó: $-30\le 30\tan (\frac{\pi }{180}\varphi )\,\le 30$
Hay $-1\le \tan (\frac{\pi }{180}\varphi )\,\le 1$.
Ta có: $(-90<\varphi <90)\Leftrightarrow \frac{-\pi }{2}<\frac{\pi }{180}\varphi <\frac{\pi }{2}$
Xét đồ thị hàm số $y=\tan x$ trên khoảng $(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.
Ta thấy $-1\le \tan (\frac{\pi }{180}\varphi )\,\le 1$ khi và chỉ khi $(\frac{-\pi }{4}\le \frac{\pi }{180}\varphi \le \frac{\pi }{4}$
Hay $-45\le \varphi \le 45$.
Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá $30cm$ nằm ở vĩ
Độ từ $-{{45}^{0}}$ đến ${{45}^{0}}$. Điểm ở vĩ độ dương lớn nhất là ${{45}^{0}}$.
Skip to PDF content